Странное равенство среднего арифметического.

Question

Нетрудно проверить, что например: (2+3+4+5+6) /5 = (2+6) /2.
Можно привести и другие подобные примеры и с ними не будет проблем, даже если переходить на x1, x2, x3. Но проблемы появляться с xn.
Когда я пытаюсь доказать, что средние арифметическое последовательности, где каждый член отличен от прошлого 1, можно так же посчитать как сумму первого и подледного, разделённого на 2, но в общем случае появляется самое странное "равенство".
В частности:
x1 - первый член последовательности
И в свою очередь:
x2=x1
xn=x1+n
Упрощаем первое выражение.
 (x1+xn) / (2) = (x1+x1+n) / (2) = (2x1+n) / (2) = (2x1) / (2) + (n) / (2) = x1+ (n) / (2)
И теперь второе, где и появляются странности в конце:
 (x1+x2+x3+x4+. +xn) / (n) = (x1+x1+x1+2+x1+3+. +x1+n) / (n)
Вполне очевидно что здесь находится ровно n x1 так что:
 (nx1+2+3+. +n) / (n) = (nx1) / (n) + (1+2+3+. +n) / (n) =x1+ (1+2+3. +n) / (n)
Остаётся только одна дробь, числитель в ней можно посчитать как сумму арифметической прогрессии:
x1+ (1+n) *n) / (2) / (n)
Видим что можно сократить n:
x1+ (1+n) / (2)
И тогда получаем само "равенство":
x1+ (n) / (2) = x1+ (1+n) / (2)
Или же, если вычесть x1 из обеих частей:
 (n) / (2) = (1+n) / (2)
-
Это равенство абсолютно точно неверно, но не могу понять, какая такая была совершена ошибка, что появляется эта 1 в числители.

Answer 1

Ошибка в том, что n-й член последовательности равен не x1 + n, а x1 + n - 1.
При этом x2 записан правильно: x2 = x1 + 1. Тогда x3 = x1 + 2; x4 = x1 + 3, и так дале. Мы видим, что каждый раз к x1 прибавляется число, на 1 меньше номера сответствующего члена последовательности. И в последнем члене последовательности к x1 должно прибавляться n - 1, а никак не n.
Тогда если подставить это выражение в общую формулу для суммы арифметической прогрессии и сравнить результаты, то всё получится.
И это работает для произвольной разности d, а не только для d = 1.