Нужна простая задача с решением как пример, где проявлялась бы польза использования комплексных чисел.

Question

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры) . Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других. \\\
Вот и стало интересно.

Answer 1

Тут, Вы обязаны. ну просто обязаны рассмотреть энергию в .
Как бы Вы думали? в пространстве без учета времени.
Со всеми математическими выкладками.
Появление, распространение, и распределение энергии и без использования в своих формулах параметра как время.
Ведь в пространстве энергия может прятаться за ширму времени. И попытка рассмотрения его, энергии Вы получите комплексные переменные.

Answer 2

Самая простая: как возвести i в степень i, где i — мнимая единица этого самого комплексного числа. Решение: будет осуществлен поворот вектора на 90 градусов против часовой и он станет — о чудо! действительным. Это почти шутка, но серьезная для знающих: они еще раз возводят и получают пи-пополам.
 
А на самом деле, важность их выявлена давно, потому что удалось разработать правила работы с ними и описать массу всего. Как? Аналитически и графически. А сейчас при современной сложности решаемых задач, комплексных чисел уже недостаточно. И надо же — повезло: есть компьютеры.
 
Ведь что такое комплексное число? Это вектор из двух компонент (или –ов, если в мужском роде) . Сейчас идет работа с векторами из десятков, сотен, тысяч компонент (ов) , тут уж двухкомпонентные комплексные кажутся допотопными. Но что было делать? Компьютеров-то не было…
 
Другого написать и дать пример не могу — в неумелых руках они будут ложью, а врать — не хорошо