"Признак" деления на 7.

Question

Вчера узнал, что где-то 12-летний мальчик нашёл способ установления, делится ли число на 7 или нет по методике, суть которой, надеюсь, будет ясна из примера:
97531 - 9753+5*1= 9758 - 975+5*8= 1015 - 101+5*5= 126 - 12+5*6= 42 - делится на 7. Значит, и 97531 делится на 7.
Можете ли доказать это?

Answer 1

Классическое определение признака: число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Этот "гениальный" мальчик заменил вычитание удвоенного числа на прибавление упятеренного числа, что дает нам разницу в 7микратное это число) 7 сокращаем и вернемся к исходнику)

Answer 2

Пусть 10a+b делится на 7. 14b-7a, очевидно, также делится на 7, значит, и их сумма 3a5b будет делиться на 7. 3 и 7 взаимно просты, так что a+5b тоже делится на 7.
В обратную сторону аналогично.