Дима меняет число, записанное на доске, по следующим правилам:

Question

если число делится на 3, то он вычитает из него 2;
если число дает остаток 1 при делении на 3, то он вычитает из него 1;
если число дает остаток 2 при делении на 3, то он прибавляет к нему 2.
Дима начинает с числа 2015. Какое число будет на доске после 1001 таких операций?

Answer 1

все натуральные числа имеют вид: или 1. N=3n, или 2. N=3n, или 3. N=3n+2. к числам вида 1. применяем операцию (1) N-2=3n-2=3 (n-1) +3-2=3 (n-1) , которая превращает их в числа вида 2. к числам вида 2. применяем операцию (2) N-1=3n-1=3n, которая превращает их в числа вида 1. и дальше повторяющиеся циклы. каждый цикл (состоящий из двух операций 1-2, 2-1) уменьшает исходное число на 1+2=3. число 2015=671*3+2, т. е. принадлежит к числам вида 3. применяем к нему операцию (3) , имем N+2=3n+4=3 (n, т. е. получаем число вида 2. искомое число равно 2015+2-1000/2=517