Как измерили значения всех синусов и косинусов?

Question

Допустим дан круг. Его радиус вектор (имет постоянный модуль) отмеряет определенный угол и является гипотенузой прямоугольных треугольников. Для того, что бы определить значения синусов и косинусов необходимо знать значение либо прилежащих, либо противолежащих катетов. Не линейкой же их измерили.

Answer 1

Их вычислили. Есть формулы для вычисления значения всех тригонометрических функций через умножения и сложения, правда, это бесконечные ряды, но их необязателоьно считать до бесконечности, уже несколько первых членов ряда (или несколько десятков) дают нужную точность.
P. S. Синус вобще-то функция, которая, в частности выражает отношение противолежащего катета в прямоугольном треугольнике к гипотенузе. Но этим она не исчерпывается, и дальше в математике определяется гораздо боле общими способами. Например, в школе даются сначала только положительные значения синуса на примере треугольника. В старших классах синус, как оказывается, может быть и отрицательным. А случаи, когда синус больше единицы, в школе вобще не проходят, да и в институтах только там, где это надо . Не говоря уже, скажем, о гиперболическом синусе. А в конце концов синус определяется, как функция, обратная эллиптическому интегралу второго рода ;)

Answer 2

Они вычисляются.
Геометрически либо алгебраически.
Во-первых, достаточно знать одну тригонометрическую функцию, чтобы через неё выразить остальные пять.
Во-вторых, функции некоторых углов можно найти по определению - 0, 90, 180, 270, 360, а других - по геометрическому построению - 30, 45, 60 и т. п.
В-третьих, существуют формулы функций суммы и разности углов, формулы приведения, половинного угла, двойного, тройного угла и т. д.
В-четвёртых, есть разложение функций в степенные ряды, есть интегралы.