Если определены направления векторов перед и верх, то можно ли однозначно определить направление вектора лево?

Answer 1

Если в нашем векторном пространстве заданы норма и скалярное произведение, тогда можно ввести понятие ортонормированного базиса (базис, в котором любая пара векторов имет скалярное произведение 0 и любой вектор имет норму 1) .
Тогда для любых двух ортонормированных базисов (в сколько-угодно-мерном пространстве, не только трехмерном) мы сможем сказать, эти базисы "одинаковой право-левости" (киральности) или разной. Это просто: матрица перехода от одного базиса к другому будет иметь определитель либо , либо -1.
Это будет деление на классы эквивалентности: класс "левых базисов" и класс "правых базисов", но деление на левые и правые будет относительным, это как электрический заряд положительный и отрицательный.

Answer 2

Для этого нужен солнечный день. В полдень стоишь лицом к Солнцу, если находишься на северном полушарии. Там, где взошло Солнце - лево. Если на южном полушарии - стоишь задом к Солнцу. . . И на запястье сответствующей руки надеваешь браслет с надписью "левая". Впрочем, Буриданов осёл (читайте в Википедии) , стоя посередине двух стогов сена, умер с голоду, так и не решив, к какому подойти - левому или правому.