Если тело вращается по кругу равномерно, то у него есть только центростремительное ускорение.

Question

Мгновенное ускорение a в момент времени t, это производная скорости a=dv/dt по определению. Тогда dv = a*dt. Это ускорение направлено перпендикулярно изначальной скорости, значит dv перпендикулярно изначальной скорости. Выходит, мы к изначальному вектору скорости добавили перпендикулярный бесконечно малый вектор. При этом, если эту операцию повторить много раз, то окажется, что вектор скорости изменяет направление, но остается таким же по модулю. Почему? Кажется, что модуль должен чуть-чуть увеличиваться (по теореме пифагора)

Answer 1

Вы забываете, что скорость тоже вектор.
И производную нужно брать как от вектора.
Дальше: при равномерном движении ускорение равно нулю. И все ваши рассуждения не имеют дальнейшего смыла. Одна ошибка в основание вашей рассуждений и от них остался пшик.
Если вы будет рассматривать окружность (траектория) в декартовых кординатах, то тогда величина вектора скорости не меняется (при равномерном движении) , но меняется его направление.
Если вы коректно опишите этот процесс в виде уравнений и возьмете производную - там все сразу станет на место.
Но, практический смысл имеют естественные кординаты, которые движутся вместе с телом: касательная и нормаль к траектории.
Так вот, в этих кординатах, для кругового движения, проекция вектора ускорения на касательную будет равна нулю, а на нормаль не равна и направлена внутрь кривизны траектории.
Это если просто.

Answer 2

Начинаете словами Если тело вращается по кругу равномерно, а заканчиваете модуль должен чуть-чуть увеличиваться.
Не видите здесь алогичность? Ведь вращение равномерно означает постоянство модуля.