Question

Может ли существовать многочлен от одной переменной, который будет последовательно выдавать простые числа, при каждом натуральном x: 1, 2, 3, ?

Или есть какая-нибудь теорема, гласящая, что это не возможно.

Answer 1

Вобще, кажется, есть теорема о том, что всякий многочлен от одной переменной с целыми коэффициентами P (x) , который для целых значений x выдаёт только простые числа, является константой.

Конкретно на твой вопрос можно дать ответ даже проще.
Давай предположим, что мы нашли такой многочлен P (x) , который выдаёт различные простые числа при подстановке натуральных значений x (даже необязательно последовательно) .
Тогда P (1) — некоторое простое число, которое я обозначу p.
Рассмотрим теперь P (1 + mp) , где m — целое число. Наш многочлен имет вид
P (x) =

Answer 2

Степень многочлена должна быть = бесконечности. А для конечного отрезка ряда простых чисел легко построить, как интерполяционный многочлен Лагранжа (или Ньютона, - дело вкуса) .