Какое последне однозначное число записала на своем пергаменте Гермиона?

Question

На уроке нумерологии Гермиона записал на своем пергаменте число 20222022. Затем из этого числа она вычла сумму его цифр (т. е. 20222022- (2+0+2+2+2+0+2+2) . Затем Гермиона заменила полученной разностью исходное число, записанное на пергаменте. После этого она продолжила выполнять данные действия до тех пор, пока не получила число, состояще из одной цифры. Какое последне однозначное число записала на своем пергаменте Гермиона?

Answer 1

9
после первого отнятия остаётся число, кратное 9, а дальше инвариант: если отнять от такого числа сумму его цифр, останется тоже кратное 9
получается, что в конце могло получиться либо 0, либо 9
0 не мог, потому что в него можно прийти только из двузначного (или длинне) числа, кратного 9, сумма цифр которого равна ему самому, а таких не существует (доказательство оставляем читателю в качестве упражнения)