Есть ли интересные теоремы, похожие на теорему Ферма?

Есть, конечно. Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, а теорема Эйлера - частным случаем теоремы Лагранжа из теории групп.
Есть "неполноценные" обратные теориы - для теоремы Лагранжа это теорема Коши и усиливающие её теоремы Силова.

Теорема Коши весьма интересная, потому что она прикольно (не очень тривиально) доказывается без использования каких-то продвинутых теорем.