Для чего в конце предложения стоит to? разве нельзя просто wanted to speak?

Answer 1

"He wanted to speak" означает, что он хотел произнести речь. Предлог "to" нужен для того, чтобы указать на то, что он хотел поговорить с конкретным лицом, а не орать в толпу.

Answer 2

to относится к that.
to that = с которой, но по правилам английского предлог не ставится перед вопросительными и относительными местоимениями в начале предложения (в данном случае - придаточного) , а выносится в конец. Исключение разве что whom, но оно уже редко употребляется.
Без to получится что-то типа "которую Арбогаст хотел поговорить".