Определённый артикль the

Answer 1

1. Фразы с last в значении "прошлый" - last week, last year etc. - без артикля. Просто запомни. Как и next week, next year.
2. Названия стран - без артикля, кроме некоторых (the USA, the UK) . К погоде здесь тоже не нужен артикль, потому что уже есть конкретизатор Britain's. Точно так же не нужен артикль, например, с Kate's bag или Mike's car.

Answer 2

Потому что не бывает НЕСКОЛЬКИХ LAST week. Есть Только ОДНА последня неделя. А THE это уточнение что именно ЭТО из нескольких.
Тоже самое и про БРИТАНСКУЮ погоду. Если б НЕСКОЛЬКО британий существовало - тогда можно было бы the употребить