Подскажите как решать данную задачу на статистику?

Question

У нас имется много одинаковых ящиков в каждом из которых лежит красный, зелёный, синий и белый шары. При открытии ящика из него падает 1 шар случайного цвета, но белый падает в 2 раза реже любых других. Из одного ящика нам может выпасть только один шар.
a) Сколько ящиков потребуется открыть игроку, чтобы получить хотя бы по одному шару каждого вида? Укажите минимальное, максимальное и средне количество ящиков.
б) Какие способы вы можете предложить для уменьшения разброса между минимумом и максимумом (3-сигма) , не добавля новых типов наград и не нарушая правила белый цвет встречается вдвое реже любого другого цвета?

По сути мы имем вероятности выпадения шаров из 1 ящика, но нужно узнать сколько ящиков нам потребуется для сбора шаров всех цветов.
Не знаю как решить это с помощью формул статистики (плохо разбираюсь в этой теме) и теории вероятностей, так как непонятно как получить количество ящиков из формул теовера.

Answer 1

Вам надо найти вероятность F (n) того, что вы получите хотя бы один шарик каждого цвета, открыв n ящиков.
Дале сможете вычислить вероятность P (n) того, что ваше заветное событие свершилось при открытия именно n-го ящика:
P (n) = F (n) - F (n - 1)
Вопрос: как найти F (n) ? Предположим, вы открыли n ящиков. Обозначим:
n1 - количество шаров 1-го цвета
n2 - количество шаров 2-го цвета
n3 - количество шаров 3-го цвета
n4 - количество шаров 4-го цвета
p1 - вероятность выадения шарика 1-го цвета из одного ящика
p2 - вероятность выадения шарика 2-го цвета из одного ящика
p3 - вероятность выадения шарика 3-го цвета из одного ящика
p4 - вероятность выадения шарика 4-го цвета из одного ящика
Тогда вероятность события n1 = a, n2 = b, n3 = c, n4 = d:
P (n1 = a, n2 = b, n3 = c, n4 = d) = C (a, b, c, d) p1^a p2^b p3^c p4^d
C (a, b, c, d) - это число способов выбрать из n шариков a 1-го цвета, b 2-го цвета, с 3-го цвета, d 4-го цвета. Если воспользоваться обычно комбинаторной формулой, получим:
C (a, b, c, d) = {n! / (a! [n - a]! ) } { (n - a) ! / (b! [n - a - b]! ) } { (n - a - b) ! / (c! [n - a - b - c]! ) } { (n - a - b - c) ! / (d! [n - a - b - c - d]! ) } = n! / (a! b! c! d! )
Ну и все, знаем P (n1 = a, n2 = b, n3 = c, n4 = d) . Очевидно, что:
F (n) = P (n1 = 1, n2 = 1, n3 = 1, n4 = 1)
Поэтому для ннахождения F (n) суммируем все P (n1 = a, n2 = b, n3 = c, n4 = d) по a, b, c, d от 1 до бесконечности при услови, что a + b + c + d = n. Когда просуммируете, легко доеберетесь до P (n) . у и надо добавить, что P (n) = 0 при n 4.
А дальше можете искать средние, дисперсии, квадратичнные отклоннения для n как обычно.