Трехгранная игральная кость

Question

Каковы должны быть физические и геометрические параметры цилиндрической игральной кости, чтобы она с одинаковой вероятностью падала на боковую и торцевую поверхности?

Answer 1

Физические - пусть падает абсолютно неупруго.
Пусть будет достаточно симметричной, чтоб центр масс/тяжести совпадал с центром симметрии цилиндра.

Геометрические параметры (отношение высоты к радиусу) определяем исходя из равенства телесных углов, под которыми видны основания и боковая поверхность из центра (полагаю, что под трехгранностью ты понимаешь равновероятность трех событий - падение на торец 1, на торец 2, на боковую поверхность) .
Вписываем цилиндр в сферу, радиус сферы э = sqrt (R^2 + h^2/4)

Дале, нужно найти h, которое нашу сферу поделит равновелико.
Вспоминая, как строится равновеликая проекция сферы на цилиндр (не наш исходный цилиндр, а уже другой, описанный вокруг сферы) , получаем
h = 2э/3, т. е. э = 3h/2
Подставляем э наверх, получаем
3h/2 = sqrt (R^2 + h^2/4)
=
8h^2/4 = R^2
R = sqrt (2) *h где-то, если не ошибся.

"Формула для определения телесного угла, если известен угол при вершине кругового конуса" тебе тоже может сгодиться, но мне проще через Ламберта.