Каким образом установили, что у треугольника на плоскости сумма углов всегда 180°?

Question

И есть ли что-то такое, что дает нам полную гарантию того, что мы однозначно не можем встретить исключение?

Answer 1

То, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам можно доказать как минимум двумя путями:
1: Как уже писали выше, тупо "развернуть" его до состояния прямой.
2: Измерить все стороны, вычислить углы с помощью тригонометрии (теоремы синусов и косинусов) , а потом суммировать все полученные значения.