Случайным образом кидаем на плоскость три точки как три вершины треугольника. Какой получится: остро- или тупоугольный?

Question

Вычислить вероятность выпадения того и другого.

Answer 1

КМК, задача поставлена некоректно. Не бывает равномерного распределения на плоскости.

Но, если хотите, можно на досуге тремя точками равномерно и независимо накакать в квадрат и, например, в правильный треугольник (и сравнить результаты) .
Квадратами и правильными треугольниками плоскость легко замостить, да они и сами правильные.

Хотите - по Монте-Карло проверю.

Вобще, если мы из большой порции двумерного больцмановского газа случайно выберем три частицы, то результат, кмк, будет сильно зависеть от формы сосуда, поэтому и думаю, что задача поставлена столь некоректно, что починить условие нельзя. Но я еще не проверил)

Answer 2

Может, я что-то не так делаю, но у меня получается, что вероятность выпадения тупоугольного треугольника равна единице!
Рассуждал так: две точки А и В займут какое-то положение на плоскости, между ними какое-то конечное расстояние (обозначим d) . Введём систему кординат, ось x направим вдоль отрезка АВ (например, по направлению от А к В) , ось у - перпендикулярно АВ через точку А. Рассмотрим две прямые: x = 0 (это ось у) и x = d. Тогда если третья точка попала между этими двумя прямыми, то треугольник остроугольный, если вне образованной прямыми области, то тупоугольный. Ну и если на одну из прямых, то, сответственно, прямоугольный.
Но область между прямыми имет конечную ширину (равную d) , а область вне прямых - бесконечную. В нашем случае нас интересует только абсцисса третьей точки. И если эта абсцисса - из числового отрезка конечной длины, треугольник остроугольный (либо прямоугольный, если она совпадает с абсциссой границы отрезка) , в остальном случае - тупоугольный. Но длина отрезка ничтожно мала по сравнению с длиной части прямой вне отрезка.
Даже если третья точка попала внутрь полосы, всё равно может получиться неостроугольный треугольник (если высота треугольника достаточно мала по сравнению с основанием - рассматриваемым отрезком, угол против этого основания может быть ещё и тупым, либо прямым, не только острым) .
Поэтому геометрическая вероятность получить остроугольный треугольник (и тем боле прямоугольный) , равна 0, а тупоугольный, сответственно, 1.