Доказательство простейших теорем в планиметрии/стереометрии

Question

У меня редко возникали проблемы с пониманием доказательств теорем, которые дают хоть сколь либо неочевидные и нетривиальные выводы о строении фигур и отношении величин меж собой. Однако с другой стороны - у меня большие проблемы с доказательством самых очевидных утверждений.

К примеру учебник берется доказать следующе: "через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. ".

Первая мысль, которая появляется у меня в голове: "Ну это же и так очевидно, как это доказывать вобще? ". Хорошо, читаю учебник - ход мыслей лаконичен, все утверждения редуцируются к аксиомам, и в один момент, причем это происходит практически всегда, автор пропускает какой-то шаг и высказывает положение ничем не подкрепленное. К примеру, что две прямые лежат в одной плоскости (в том случае это никак не следовало ни из аксиом, ни из условия, ни из идей, озвученных ране) .

Причем это положение легко представимо, поэтому по иде не должно вызывать вопросов. Но зачем мы тогда вобще брались доказывать не мене очевидное утверждение, если его также можно пропустить, списав на то, что его легко представить.

Я просто не понимаю, где проходит эта грань.

Answer 1

Не знаю, где ты там усмотрел "автор пропускает какой-то шаг и высказывает положение ничем не подкрепленное".
В доказательстве теорем таких пропусков нету.

А вобще по поводу очевидности.
То, что очевидно, далеко не всегда истинно.
Пример тому - движение Солнца.
Сколько веков понадобилось человечеству, чтобы опровергнуть Геоцентризм.
Да, есть в геометрии Ахиллесова пята - это утверждения, принимаемые без доказательства в силу их элементарности и очевидности - аксиомы. На определенном наборе аксиом строится вся геометрия. И тут кроется слабость - в недоказуемой очевидности.
Поменяй одну аксиому (например аксиому о параллельных прямых) - и ты построишь другую геометрию - геометрию Лобачевского.

Answer 2

вы пример приведите, в геометрии обычно все строго и логично, есть несколько аксиом из которых все остальное выводится. Самое красивое, что можно взять другие аксиомы и будут другие теоремы но мир то не поменяется, если речь о планиметрии и стереометрии. Кстати самая логически правильная из школьных наук. Может вы просто упустили что-то. Короче давайте разбираться на конкретном примере. Вот то что вы спросили, доказательство сводится к аксиоме, через любые три точки лежащие не на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну. Вот и сображайте. Есть прямая, на ней точно есть две точки, и даже больше, но нас интересуют любые две. Если задать точку М не на этой прямой, то согласно аксиоме будет только одна плоскость включающая две точки на прямой (а значит и все остальные точки) и точку М, а значит мы свели задачу к планиметрии и смотрим как это решается в плоскости. Я на память не помню, вроде там от противного, но могу ошибаться. Двадцать шесть лет назад сдавал экзамены.