Помогите решить задачу про пушечное ядро

Question

Пушечное ядро массой 6 кг и диаметром 100 мм летит горизонтально у поверхности Земли с начальной скоростью 300 м/с. Как найти силу сопротивления воздуха и рассчитать величину падения его скорости через 100, 200 и 300 м полета, если коэффициент сопротивления аэродинамической формы шара равен 0, 47?

Answer 1

Fс = C Q S
C - коэффициент сопротивленния
S - площадь проекции шара на плоскость, перепендикулярную направлению движения
Q - напор воздуха на шар (в С. О. шара)
Сразу запишем, что знаем:
C = 0. 47
S = п R^2 = (п / 4) D^2
Q = p v^2 / 2
p - плотность воздуха
v - скорость шара отн-но воздуха
Ну и теперь надо все собрать в кучу:
Fс = (C п / 8) D^2 p v^2
Чтобы не таскать с собой кучу коэффициентов, удобно ввести обозначение:
k = (C п / 8) D^2 p
 (Можете одставить чиселки и сразу посчитать k) . Выражение для силы примет вид:
Fс = k v^2
Дале, вероятно, нужно пренебречь действием силы тяжести, а значит и вертикальной составляющей движения (иначе уравнения будут непростыми) . Тогда 2-й закон Ньютона:
m (dv/dt) = - k v^2
И доп. условие:
при t = 0 (и при x = 0) , v = v0 = 300 (м/c) .
m - масса ядра
x - кордината
Рассматриваем v, как функцию кординнаты:
v (t) = v (x (t)
Тогда:
dv/dt = (dv/dx) (dx/dt) = (dv/dx) v
И уравнение для скорости запишется так:
m v (dv/dx) = - k v^2
v не равно нулю, сокращаем на v:
m (dv/dx) = - k v
Разделяем переменные:
dv / v = - k dx / m
Интегрируем:
ln (v) = A - k x / m
A - константа интегрированния.
Избавляемся от логарифма:
v = exp (A) exp (- k x / m)
Учитываем, что в начале пути скорость равна v0:
v = v0 exp (- k x / m)
Подставляете x = 100 (м) , x = 200 (м) , x = 300 (м) , и находите требуемые значения скорости через 100, 200 и 300 метров движения.