Найти производную двумя способами

Answer 1

Есть формула для производной функции типа u^v, где и u, и v зависят от х: u = u (x) , v = v (x)

 (u^v) ' = (u^ (v-1) * (u'v + uv'*ln u)

Именно в таком виде она запоминается лучше всего
Применя эту формулу, сразу получаем ответ:

y' = (x^3 + 1) ^ (tg (2x) - 1) (3x^2 * tg (2x) + (x^3 + 1) * (2 / cos^2 (2x) * ln (x^3 + 1)

Выводится формула так:

 (u^v) ' = (e^ln u) ^v) ' = (e^ (v ln u) ' = (e ^ (v ln u) * (v ln u) ' =
= (u^v) * (v'*ln u + v*u' / u) = (u^v) * (uv' * ln u + vu') / v = (u^ (v-1) * (u'v + uv'*ln u)

Не представляю, какой второй способ имел в виду составитель этой задачи. Наверное, представить (x^3 + 1) ^ (tg (2x) как e^ (tg (2x) *ln (x^3 + 1) и дале продифференцировать по формуле производной сложной функции и производной произведения, фактически выводя заново эту формулу в этом частном случае.

Кстати, в институте нам и впрямь не разрешали пользоваться этой общей формулой, а так и заставляли в каждом подобном случае заново её выводить. Хотя формула эта ничем не хуже, скажем, формулы для производной произведения, но почему-то никому в голову не приходит каждый раз при взятии производной произведения выводить сответствующую формулу.