Имем линейное преобразование в трёхмерном пространстве,

Question

Его характеристическое уравнение имет один действительный корень и пару сопряжённых комплексных. Действительному сответствует инвариантная прямая, паре комплексных - инвариантная плоскость.

Как ведёт себя преобразование в пределах инвариантной плоскости? Является ли оно поворотом вокруг центра, поворотом с преобразованием подобия, или чем-то другим?

Answer 1

Рассмотрите сужение своего преобразования на инвариантное двумерное подпространство. Жорданова нормальная форма сужения диагональна и содержит различные комплексно-сопряженные с. з - она, очевидно, подобна произведению матрицы поворота на скаляр.

"поворотом с преобразованием подобия" - при замене скалярного произведения на своё удобное - да, является.
Без замены скалярного произведения - никто не обещал! А обычно скалярное произведение дано вам свыше, а не вы выбираете его на свой вкус.

Подобрать вещественную матрицу 2x2, которая не имет вещ. собственных значений и при этом не является суммой скалярной и кососимметрической (т. е. не является произведением матрицы поворота на скаляр) , надеюсь. сумете легко.

Если вам охота разложить преобразование в композицию каких-то "простейших", то читайте про "разложения матрицы" (matrix decompositions) , понравившийся вид разложения выбирайте на свой вкус.

Answer 2

ну, поскольку матрица преобразования на этом инвариантном подпространстве обратима, то задаваемое ей преобразование является аффинным. а аффинные преобразования - это растяжения-сжатия, повороты и сдвиги (ну, еще движения, но они не линейные, так что на них пофиг) . вот, комбинацией этих штук оно и будет.