Почему при стремлении к нулю приращения функции это приращение становится равно дифференциалу функции ?

Question

Не понимаю из какого свойства это следует и как доказать.

Answer 1

Стоит обратить внимание, что бесконечно малое приращение функции может быть вычислено двумя способами: 1) как разность двух значений функции в близлежащих точках. 2) как произведение производной функции на приращение аргумента. Эти способы дают почти одинаковые, но различающиеся на бесконечно малую величину результаты. Так вот, только второй случай и есть дифференциал функции.

Answer 2

Дифференциал - бесконечно малое приращение (приращение, стремящеся к нулю) . По отношению к функции можно добавить, что это часть приращения, линейная по дифференциалу аргумента. Возьмите приращение функциии:
f (x+dx) - f (x) = f' (x) dx + (1/2) f'' (x) dx^2 + (1/6) f''' (x) dx^3 + и т. д.
И посмотрите, какова тут линейная часть по dx:
f' (x) dx

Answer 3

В естественной природе функции нелинейны, то есть, имеют кривой график. Но если мы возьмём достаточно короткий кусочек такого графика, то он сойдёт за прямой и потому получит право называться дифференциалом.

function-x. ru/differential. html