Допустимо ли "проследовать" в значении "войти"? "Он проследовал на кухню".

Answer 1

Не совсем синонимы. Проследовать подразумевает продвижение по некому маршруту с прибытием в конечную точку. Войти - значит пересечь порог, независимо от того, как долго ты перед ним стоял.
Тут зависит от контекста и вображаемого местоположения условного наблюдателя (автора или читателя строк) .
Я жарил картошку и в кухню заявился дед. Тут только "вошел".
Участковый открыл дверь в квартиру и, не заходя в комнаты, сразу двинулся на кухню. Тут подойдет только "проследовал".