Почему мне друг утверждает, что x^x=-1 не имет корней?

Answer 1

Всё зависит от того, что понимать под ^ (или просто возведением в степень) .
Потому что есть две совершенно разные математические операции, которые записываются абсолютно одинаково.

Первая - это возведение в действительную степень. И там запрещены отрицательные (и равные нулю) основания, поскольку при дробных показателях получается противоречие. Например: -2 = (-8) ^ (1/3) = (-8) ^ (2/6) = (-8) ^2) ^ (1/6) = 64^ (1/6) = 2, т. е. -2 = 2.
Вторая - это возведение в целую степень. И там запрещены по определению нецелые показатели, но зато разрешены отрицательные основания, так как таких противоречий там возникнуть не может.

Так вот, если ^ понимать как первую операцию, то уравнение не имет корней (из определения следует, что такая степень отрицательной быть не может) , а если как вторую, то корень равен -1. Так что правы оба. Каждый по своему.