Помогите с функциями

Question

Существуют ли такие функции: f (x) =f (f (x) ?
Помимо f (x) =x, можете привести пример?

Answer 1

Предположим, что функция хорошая и всюду дифференцируемая. Тогда:
f' (x) = f' (f (x) *f' (x)
Либо f' (x) =0, либо f' (f (x) = 1 для любых х.
Первое дает нам решение вида f (x) =const, а второе f (x) = x
Но если брать из "плохих" функций, то вполне подойдут и другие, например,
f (x) = sign (x) , целая часть f (x) = [x] или f (x) = {x для xk и k для x=k}

Answer 2

Ну, например, целая часть - идемпотентная функция.
Округление до второго знака после запятой - тоже.

Идемпотениная функция - это, в некотором широком смысле, "проекция".
Отображение, которое переводит каждую точку пространства в её, например, ортогональную проекцию на, например, заданную прямую - тоже идемпотентная функция.