Банаховы Пространства Помощь с решением задачи

Answer 1

Как я понимаю, имется в виду, что L - линейное подпространство.
Тогда вопрос сводится к следующему: является ли L нормированным? Потому что в нормированном пространстве существует метрика, а значит, можно построить шар.
Да, является: в нем имется норма, индуцированная В. Так как все три свойства нормы не выводят из L.

Answer 2

Я иначе понял вопрос.
Пусть B (r) - шар радиуса r 0 в пространстве B, открытый или замкнутый - один фиг.

Тогда для всякого ненулевого x из B справедливо x = (2||x||/r ) * (r/2) / ||x||) *x)
Множитель справа от * - вектор нормы r/2, значит, x принадлежит Span (B (r) , откуда Span (B (r) = B.

Т. к. линейная оболочка множества является пересечением всех линейных подпространств, содержащих это множество, то L включает в себя шар пространства B = L = B.