Как можно вложить сферу в двухмерную плоскость?

Answer 1

Такого вложения не существует. Будем рассуждать от противного, пусть оно есть. "Разрежем" сферу на две полусферы. Границей разреза пусть будет окружность, проходящая через полюса сферы. Эта окружность после вложения в плоскость должна перейти в некоторую замкнутую кривую на плоскости. При этом одна из полусфер перейдет в какую-то часть плоскости "внутри" этой кривой, а другая полусфера перейдет в какую-то часть плоскости во вне этой кривой. Причем эта кривая неизбежно должна быть границей этих кусков плоскости. Тогда тот кусок, который "во вне" кривой и даёт противоречие. Действительно, полусфера обладает тем свойством, что всякая "нарисованная" на ней петелька может быть мысленно стянута в точку, т. к. на полусфере нет дырок. Но при нашем вложении в плоскость эта полусфера перешла в часть плоскости с дырочкой. Если мы нарисуем петельку вокруг дырочки, то не сможем стянуть е в точку, т. к. дырка будет мешать. Получилось противоречие.