Задача с вращающимся диском

Question

Диск радиусом R вращается против часовой стрелки вокруг своей вертикальной оси с постоянной угловой скоростью

Answer 1

Давайте сразу вторым вопросом займемся.
Пусть шарик (чисто для простоты) не катится, а скользит без трения.

r'' - w^2*r = 0, r (0) = 0, r' (0) = eps

Решение сей задачи Коши, понятное дело, однородно по eps, поэтому не знаю, как уж вы время будете находить. Понятно, что при логарифмической асимптотике времени покидания диска у вас всякий квантовый выпердыш (флуктуация какая-нибудь) заставит шарик покинуть диск за адекватное время, но-таки вы его, не зная eps, не найдете.

Тут же асимптотика такая же, как у математического маятника (на невесомом стержне) , повернутого вверх тормашками - при движении из положения неустойчивого равновесия. Есть такая модная тема про него - движение по сепаратрисе.

Answer 2

В полярной СК отличий между ЛСО и СО диска практически нет.
2-й закон Ньютона в ЛСО:
m (r'' - r [ф']^2) = 0
m (2 r' ф' + r ф'') = N
 (при условии ф = w t)
2-й закон Ньютона в СО диска:
m (r'' - r [w + ф']^2) = 0
m (2 r' (w + ф') + r ф'') = N
или:
m (r'' - r ф^2) = m r w^2 + 2 m r w ф'
m (2 r' ф' + r ф'') = N - 2 m w r'
 (при условии ф = 0)
Последние слагаемые - это как раз и будут компоненты силы Кариолиса.
m - масса шарика
r - расстояние от шарика до центра диска
ф - угол в полярных кординатах
w - частота вращения диска
R - радиус диска
N - горизонтальная часть силы, с которой диск действует на шарик
Можно решить задачу с конечной начальной скоростью, а потом устремить е к нулю тогда:
1) Скорость вылета (в ЛСО) :
v = sqrt (2) w R
2) Время движения формально стремится в бесконечность.
3) Модуль горизонтальной силы воздействия шарика на диск в момент вылета:
F= 2 m w^2 R