Численные методы в математике

Answer 1

А как вам тут помочь? Запрогать методы за вас? Как-то ме. Объяснить метод? Можно попробовать.
-
А) Метод хорд.
1) Вводим функцию:
F (x) = (x + 1) ^3 - x
Тогда ваше уравнение примет вид:
F (x) = 0
2) Находим графически промежуток x1 x x2, в который точно попадает искомый корень уравнения, и в котором нет других корней, разрывов и особенностей у функций F. В вашем случае можно взять:
x1 = - 3
x2 = - 2
3) Вычисляем значения функции в этих точках:
y1 = F (x1)
y2 = F (x2)
4) Через точки (x1, y1) и (x2, y2) проводим прямую (т. н. хорду) . Находим x-кординату точки, где она (хорда) пересекает ось x:
x = (y2 x1 - y1 x2) / (y2 - y1)
 (в комментарии напишу, от куда это выражение взялось)
Найдём значение функции в этой точке:
y = F (x)
5) Найденное таким образом значение x будет нашей оценкой для искомого корня. Ошибка в этом случае будет не боле чем x2 - x1:
err = x2 - x1
Если y = 0, то мы попали точно в корень, тогда:
err = 0
6) Если err 0. 001, то идём в пункт (7) , иначе идём в пункт (8) .
7) Если y и y1 одного знака:
y * y1 0
Тогда x и x1 находятся по одну сторону от корня. Сужаем нашу область слева:
x1 = x
y1 = y
Иначе x и x1 находятся по разную сторону от корня. Сужаем область справа:
x2 = x
y2 = y
Возвращаемся в пункт (4) .
8) Принимаем x как результат решения уравнения, а err, как оценку сверху для ошибки.
-
Б) Метод Ньютона.
1) Вводим функцию:
F (x) = (x + 1) ^3 - x
и е производную (потом поймем, зачем) :
F' (x) = 3 (x + 1) ^2 - 1
Ваше уравнение примет вид:
F (x) = 0
2) Мы знаем, что -3 x -2. Можем грубо оценить x как -2. 5:
x = -2. 5
-
Небольшое отступление. Мы хотим, чтобы:
F (x) = 0
Но мы грубо подобрали x, потому у нас это равенство не выполняется. Поправим x некоторой добавкой dx, и потребуем точного выполнения равенства:
F (x + dx) = 0
Считаем, что, подбирая x, мы попали достаточно близко к корню. В этом случае dx будет малой величиной. Тогда можем приближенно написать:
F (x) + F' (x) dx