Сходится ли этот ряд?

Answer 1

int dx/ (sin (x) ^2 от 1/N до пи/2 = O (N)
Видимо, средне арифметическое числителей первых N членов ряда асимптотически растет как O (N) .

Попробуй весь свой ряд долбануть линейными регулярными обобщенными методами суммирования - с учетом того, что ряд знакопостоянный, его сходимость в обычном смысле эквивалентна многим видам обобщенной сходимости.
Нкпример, чезаровский метод средних арифметических является регулярным, линейным, и зануление хвоста ряда из положительных членов не уменьшает его чезаровскую сумму, поэтому сходимость твоего ряда в обычном смысле эквивалентна обобщенной по Чезаро методом средних арифметических.

Answer 2

Расходится, так как предел n-го члена рядя на бесконечности не определён. С другой стороны, чтобы косеканс обратился в бесконечность, его аргумент должен быть кратен числу пи, а в целых числах это невозможно в принципе, поэтому данный ряд может сходиться.