Будет ли верна теорема Ферма для отрезков?

Question

Будет ли верна теорема Ферма, Ролля и т. д, если заменить в формулировке интервал отрезком?

То есть почему мы говорим, что функция дифференцируема на (a, b) , а не на [a, b]?

Answer 1

Потому что если мы выбираем точку на интервале, то мы всегда найдем окрестность этой точки принадлежащей этому интервалу, а значит сможем найти производную. В случае с отрезком, если выбрать например правый конец отрезка, то в нем мы сможем определить только левую производную, а не полную. Поэтому и выбирают интервал
Если кратко, то в доказательствах используется тот факт, что всегда найдется окрестность точки в данном интервале, для отрезка это верно не всегда