Вопрос про вероятности

Question

Допустим, существует некий генератор случайных чисел. Каждую секунду он случайно показывает какое-либо число из бесконечного ряда натуральных чисел. Генератор будет работать бесконечно долго.

Может ли он когда-либо выдать одно и то же число дважды, трижды, триллион раз? Если может, случится ли такое за бесконечное время? Или это абсолютно невозможно?

Answer 1

Как это.
Надо бы сперва понять, как он вобще работает, генератор ваш.

Пусть у вас получилось сгенерировать им равномерное дискретное распределение на N (предположим, что такое существует) .
Вероятность того, что ваш генереатор выплюнет наперед заданное число n за один шаг, равна нулю. Суммируем ряд по всем натуральным n, получаем ноль вместо единицы. С суммами таких рядов вы в школе сталкивались - последовательность из нулей ведь является геометрической прогрессией.
Сигма-адитивную вероятностную меру на N вы никак не получите, а над конечно-адитивной и голову не стоит ломать, пока не припрёт.

Припереть может, например, если вас просят формализовать понятие вероятности того, что два случайно взятых натуральных числа взаимно просты. В этом случае разумно рассмотреть последовательность равномерных дискретных распределений на вложенных (каждый в следующий) отрезках и предел последовательности сответствующих вероятностей.

Answer 2

а это всё зависит от того, как именно работает генератор.
может, он марковский, и генерирует последовательность x1 x2 x3 .
тогда облом.

а если он генерирует стационарные последовательности, то:
P{1} + P{2} + . = 1
и вероятность получения двух одинаковых чисел ненулевая.

Answer 3

Возможно, в конкретное число (например, триллион) раз. Я читал о том, что если вместо цифр генерировать случайно буквы латинского алфавита, когда-нибудь генератор выдаст полное собрание сочинений Шекспира.