Вопрос для знающих , объясните простым языком ( ликбез для чайника) , в чем суть гипотезы Пуанкаре?

Answer 1

Схема доказательства
 
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похоже на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многобразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное ) , а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многобразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».
 
При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многобразии и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многобразие можно представить как набор сферических пространственных форм , соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм и боле того все тривиальны. Таким образом, является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

Answer 2

Любую сплошную поверхность без краев и разрывов деформацией можно свести к сфере, в том числе для таких поверхностей в многомерных пространствах.