Question

Является ли метрическим пространством множество вещественных чисел, если метрика задана в виде:

Answer 1

Надо обговорить, как понимается arctg (x) ибо функция - не функция, т. е. неоднозначная, а +k*период tg (x) .
Ну, а для доказательства неравенства треугольника достаточно монотонности.

Answer 2

Ну, как бы, все аксиомы, кроме неравенства треугольника, ты легко проверишь.
Касаемо неравенства треуглольника: о неравенстве Йенсена слыхал? Ну вот, юзани его для сужения arctg (или -arctg) на R+ U { 0 }.