Где (на каком сайте) можно найти такой онлайн-калькулятор, который находит коэффициенты многочлена по данным значениям?

Question

В общем виде: дана конечная последовательность чисел: a (1) ; a (2) ; a (3) ; . ; a (n) .
Требуется найти такой приведённый многочлен n-й cтепени:
P (x) = x^n + b (1) x^ (n-1) + b (2) x^ (n-2) + . + b (n) ,
что его значения в точках 1; 2; 3; . n равны, сответственно, заданным членам последовательности, т. е.
P (1) = a (1) ; P (2) = a (2) ; P (3) = a (3) ; . ; P (n) = a (n) ,
т. е. по заданным числам a (1) ; a (2) ; a (3) ; . a (n) вычислить коэффициенты многочлена b (1) ; b (2) ; b (3) ; . b (n) .
Уточню, что нужен именно приведённый многочлен, т. е. такой, у которого старший коэффициент равен 1.

Это похоже на интерполяционный многочлен Лагранжа, только там это многочлен (n-1) -й степени, необязательно приведённый, а аргументы многочлена - произвольные числа, необязательно последовательные натуральные.

Понятно, что в общем виде получается система n линейных уравнений с n неизвестными, в которой вычислить коэффициенты каждого уравнения и решить систему вручную - чисто механическая, но очень громоздкая задача. Есть ли такой онлайн-калькулятор, который бы сразу по заданным числам выдавал искомые коэффициенты многочлена, рассчитывая их гораздо быстре, чем это сделает человек?

Вот простой пример, чтобы было совсем понятно, что именно требуется. Даны два числа: 2 и 5. Составить приведённый многочлен P (x) , такой, что P (1) = 2; P (2) = 5.
Решение: так как дано 2 числа, то ищем многочлен 2-й степени: P (x) = x^2 + ax + b. Подставля сюда данные из условия, получаем систему: 1^2 + a*1 + b = 2; 2^2 + a*2 + b = 5, или в упрощённом виде a + b = 1; 2a + b = 1. Решаем и получаем a = 0; b = 1, значит, искомый многочлен имет вид: P (1) x^2 + 1. Действительно, P (1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2; P (2) = 2^2 + 1 =4 + 1 = 5.

Вот нужно то же самое, только для произвольного количества произвольных чисел, рассчитываемое на калькуляторе (на котором, разумется, можно было бы ввести этот пример и выполнить проверку) . Где такой калькулятор можно найти?

Answer 1

Excel в помощь.
"Найти значения коэффициентов" называется - построить аппроксимирующий многочлен. Тупо вбиваете в один столбик все значения х, в другой столбик, соседний, - все сответствующие значения у. Потом выделяете оба столбика и строите график у (х) , в панели "Диаграммы" (Charts) этот вид графика обозначен отдельными точками.
Когда график построен, надо на нём нажать правой кнопкой и выбрать из выпавшего меню опцию Trendline (фиг её знает, как она в русской версии Экселя называется) , и там можно выбрать тип аппроксимации "Полином" и задать степень полинома. Вуаля.
Не забудьте только напомнить Экселю, чтоб он отобразил на графике уравнение полинома.

Насчёт приведённости многочлена - не факт, что в произвольном случае это вобще возможно.