Доказательство теоремы синусов через формулу площади треугольника чрез синус

Question

Тезис теоремы понятен, отношения противолежащих сторон углам треугольника и синуса этих углов равны, и также равны гипотенузе, если вписать такой треугольник в окружность (т. е. удвоенному радиусу если гипотенуза проходит через середину окружности) т. е Доказательство формулы нахождения площади треугольников понятно, высоту заменили на значение ординаты представленное в виде произведения гипотенузы треугольника на синус угла этого треугольника на декартовой системе кординат. Доказательство строиться на тождественных преобразованиях этой формулы площади в таком виде, первая часть равенства мне понятна, тут произведение основания треугольника на высоту дает площадь треугольника (точне половину площади прямоугольника) , но что на что мы умножаем во второй и третьей части формулы?

Answer 1

Тут всё то же самое: поскольку всё равно, какими буквами обозначить стороны треугольника, то для других сторон и угла между ними получится то же самое сотношение.

Общий вывод, как верно замечено, строится на следующем: треугольник помещается в систему кординат так, что одна сторона совмещается с осью абсцисс, одна из вершин этой стороны - начало кординат, а другая сторона, исходящая из той же вершины направлена под некоторым углом между этими сторонами. Тогда легко видеть, что ордината точки, лежащей против первой стороны - это с одной стороны вторая сторона, умноженная на синус угла между первой и второй, а с другой - высота, проведённая к первой.

Иначе говоря, здесь получается, что высота треугольника, проведённая к одной из её сторон, всегда равна другой стороне, умноженной на синус угла против третьей.

И здесь неважно, какую сторону принять за первую, какую за вторую, а какую - за третью. Поэтому при стандартных обозначениях (a, b, c - стороны, против которых лежат, сответственно, углы