Почему произведение двух чисел можно представить разными способами?

Question

Почему, если мы возьмём пять два раза, то результат умножения будет таким же, как если бы мы взяли два пять раз?

5 * 2 = 10

2 * 5 = 10

Answer 1

Я правильно понял, что вопрос состоит в том, почему умножение коммутативно? Ну вот тогда простой геометрический смысл. Возьмём прямоугольник со сторонами 2 и 5 и разрежем его на маленькие квадратики: в две полоски по пять квадратов в каждой полоске. Площадь каждого квадрата равна, очевидно, 1. Всего имем два ряда по пять квадратов, т. е. два раза по пять, а это и есть по сути определение умножения. Общая площадь равна 5 + 5 = 5*2 (последне - просто боле короткая и удобная запись первого) . Но с другой стороны ту же самую площадь можно считать и иначе: рядами считать боле мелкие полоски по 2 квадрата в каждой полоске, а всего таких рядов будет 5. Поэтому та же самая площадь будет тогда равна 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2*5 Но ведь из-за того, что мы посчитали площадь другим способом, она не поменялась: действительно - это всё тот же прямоугольник, а значит, у него та же самая площадь. Поэтому оба выражения дают в результате одно и то же число. Точно так же можно проиллюстрировать и общий закон: a*b = b*a: в первом случае мы разрезаем прямоугольник на b полосок по a квадратов в каждой, а во второй - на a полосок по b квадратов в каждой. По-другому, этот же прямоугольник можно просто поставить на бок: тогда горизонтальные ряды-полоски станут вертикальными, и наоборот. В качестве наглядного образа этого прямоугольника можно взять, например, плитку шоколада. Ну и вот иллюстрация сказанного: