Возможно ли все вещественные числа раскрасить в красный и синий цвета так,

Question

Что сумма любых красного и синего чисел будет красной, а сумма любых двух одноцветных чисел будет синей?

Answer 1

Не то, что вещественные, даже рациональные нельзя раскрасить в два цвета таким образом. Нужно хотя бы три цвета для рациональных.

допустим, 1 - синя, тогда каждое нечётное число будет синим, каждое чётное - красным;

допустим, 1/2 - синя, тогда 1/2 + 1 = 3/2 - синя, 3/2 + 1/2 = 2 - синя. противоречие: каждое чётное должно быть красным.
допустим, 1/2 - красная, тогда 1/2 + 1 = 3/2 - красная, 3/2 + 1/2 = 2 - синя. то же противоречие.

допустим теперь, что 1 - красная, тогда 1/2 + 1/2 = 1 - красная. но 1/2 = 1/2, и в какой бы цвет 1/2 не была бы покрашена, её удвоение должно быть синим. противоречие с тем, что 1 - красная