Помогите вывести формулу из механики

Answer 1

Проще всего, наверное, будет рассматривать трубку с газом, с постоянным сечением. Вводим ось x вдоль трубки, и рассматриваем газ в области трубки от x до (x + dx) , считая dx - дифференциально малым.
1)
Масса газа внутри этой области:
dm = p S dx
p - плотность
S - площадь сечения
Если газ движется, сжимается, то масса газа внутри промежутка меняется. Изменение массы за время dt:
d (dm) = dp S dx
d (dm) /dt = S (dp/dt) dx
Если ввести проекцию скорости газа на ось x в точке x, то:
d (dm) = p (x) v (x) S dt - p (x+dx) v (x+dx) S dt
d (dm) /dt = S [p (x) v (x) - p (x+dx) v (x+dx) ]
Приравниваем выражения для d (dm) /dt:
S (dp/dt) dx = S [p (x) v (x) - p (x+dx) v (x+dx) ]
Делим на S dx (справа будет определение производной, если dx устремить к 0) :
dp/dt = - d (p v) /dx
2)
Рассмотрим, какая сила действует на газ внутри этого промежутка трубы со стороны соседнего газа:
Fx = P (x) S - P (x+dx) S
P - давление
По второму закону Ньютона:
dm dv/dt = Fx
p S dx (dv/dt) = S (P (x) - P (x+dx)
Снова делим на dx:
dv/dt = (1/p) dP/dx
Тут надо заметить, что под dv/dt имется ввиду ПОЛНАЯ производная по времени. Тогда придется расписать:
dv/dt_полн = dv/dt_частн + dv/dx_частн dx/dt_полн = dv/dt + v dv/dx
 (учли, что dx/dt = v)
Тогда уравнение примет вид (все производные частные) :
dv/dt + v dv/dx = - (1/p) dP/dx
3)
Уравнение состояния. С одной стороны у нас есть первое начало термодинамики:
dQ = dU + P dV
С другой - уравнение состояния:
P V = f R T
Считаем, что процесс адиабатический, то есть при малых колебаниях плотности газа нет обмена теплотой:
dQ = 0
Тогда, сразу подставля U = (i/2) f R T, получаем:
0 = (i/2) f R dT + P dV
P V = f R T
dT выражаем из второго равенства, подставляем в первое:
0 = (i/2) d (P V) + P dV
0 = [ (i+2) /i] P dV + (i/2) V dP
dP/P = - [ (i+2) /i] dV/V
 (обозначим g = (i+2) /i - показатель адиабаты)
dP/P = - g dV/V
Интегрируем:
ln (P) = Const - g ln (V)
Или:
P V^g = Const - уравнение адиабатического процесса. Если переписать его через плотность:
P p^-g = Const
4)
Получили систему 3-х уравнений для p, P, v:
dp/dt = - d (p v) /dx
dv/dt + v dv/dx = - (1/p) dP/dx
P p^-g = Const
Обозначим за Po, po - давление и плотность газа, когда в нем нет никакого звука (равновесные значения) , тогда третье уравнение примет вид:
P p^-g = Po (po) ^-g
или:
P = Po (p/po) ^g
Запишем плотность в виде:
p = po (1 + s)
и будем считать, что плотность изменяется слабло, т. е. :
|s| 1
Будем пренебрегать всеми степенями s выше первой.
Тогда:
P = Po (1+s) ^g