Если в уравнении встречаются только вторые производные по времени, что можно сказать о решении? Каковы его свойства?

Answer 1

Решение будет либо линейно зависеть от времени, либо вобще от него не зависеть.
 
Дополнение: если кроме вторых производных по времени в уравнении есть постоянные слагаемые, решение будет зависеть от времени квадратично.

Answer 2

Вы. наверное, имели в виду отсутствие первых. Если ур-ние разрешено относит. 2й произв.
x``=f (x) , то 2x``x`=2*f (x) x`; откуда следует
 (x`) ^2=F (x) +C1, где F - первобразная. Физически это означает, что полная энергия
E= (x`) ^2-F (x) =С1=const. Значит, система консервативная, а движение может быть либо финитным, либо нефинитным (т. е. продолжать двигаться всё время в одном направлении) .

Answer 3

Имхо, уравнение имет вид: f (y'') =0. Если, при этом алг. уравнение f (х) =0 не имет действ. корней, и диффур. не имет решений! Если же "а" корень, то y''=а => y=at+b. И так для любого корня уравнения f (х) =0.