Является ли "кусочек" неявно заданной функции y=x^x^y возле точки (0;1) аналитическим продолжением функции y= (-x) ^x ?

Question

Можно ли е таковой считать, если обе функции в нуле ведут себя странно (y' - -

Answer 1

Не является, конечно. с чего вдруг?
y = (-1) ^1 = -1
а у Вас получается
y = 1^ (1^y)
y = 1

То есть Вы нарисовали совсем другую функцию. Для того, чтобы новая функция была аналитическим продолжением имеющейся, она должна иметь ровно те же значения, что и первая, во всех точках, где существует первая функция.

y = (-x) ^x

ln (y) = x* (ln (x) + i*Пи)
y = (e^ln (x) ^x * e^ (i*x*Пи) = x^x * e^ (i*x*Пи)

Теперь просто избавимся от комплексной части этого числа, потому вместо e^ (i*x*Пи) возьмём её проекцию на вещественную ось:
y = x^x * cos (x*Пи)

это и есть один из вариантов аналитического продолжения функции в положительных иксах.