Question

Почему союз (при этом) пишется раздельно, а союз (притом) слитно?

Answer 1

Потому что первый является составным, значение зависит от расположения запятой в предложении, а второй не всегда пишется слитно, в зависимости от контекста.

Answer 2

Потому что "при том" тоже пишется раздельно. И никакой это не союз. "При" - это предлог, а "это" и "то" - местоимения.

И вобще, в предложении "Вано и Гоги пошли в баню мыться", "мыться" - это предлог, а "в баню" - местоимение.