Если интеграл от нижней границы а, до верхней a равен нулю, может ли первоначальная не быть симметричной?

Answer 1

Пример будет таков.
f (x) определена на R, интегрируема по Риману на каждом симметричном относительно нуля отрезке, на каждом таком отрезке интеграл от не равен нулю и при этом сужение функции на каждый такой отрезок (если его длина не ноль) не является нечетной функцией:

 f (1/n) = 0 для каждого натурального n, f (x) = x для остальных действительных x.

Answer 2

наверное.

"теорема" гласит что если под интегралом стоит чётная (или по-вашему, симметричная) функция, то интеграл на интервале от -а до а будет равен нулю

в обратную сторону это работать не обязано.