Почему не получается разложить экспоненту F (x) =Exp (-1/x) , в степенной ряд Тейлора в точке x=0?

Question

Какое из условий существования ряда Тейлора не выполнено? Функция у меня монотонно убывает до нуля при x=0.

Полагаю, что первая ненулевая производная в точке ноль - в точности бесконечного порядка. И эта производная равна в точности бесконечности. Но бесконечные производные запрещены. Поэтому экспоненту нельзя разложить в ряд Тейлора.

Answer 1

Если вы раскладываете функцию в ряд Тейлора в окрестности какой-то точки, то, сколько бы членов вы не учли, вы представляете функции как полином какой-то степени.
А как вы представите функцию в виде полинома, если у вас полиномы всегда однозначные и гладенькие, а функция ваша в этой точек имет разные пределы при стремлении аргумента к рассматриваемому значению с разных сторон?
Такое поведение никаким полиномом представить невозможно.
И Зетадемон правильно сказал, это как раз отсутствие аналитичности.