Допустим есть знакоположительный ряд, сходимость суммы которого остается открытой проблемой.

Question

… и, например, кому-то удалось воспользоваться обобщенными методами суммирования расходящихся рядов (каким-нибудь методом Абеля, Чезаро или хитрой дзета-регуляризацией, например) , и в результате обобщенная сумма ряда S получилась положительная и "на вскидку" достаточно большая, чтобы быть больше каждого из членов ряда. Т. е, не доказано, что ряд сходится, но если и сходится, то только к S.
Дает ли эта информация возможность проверить (или же сразу доказать) сходимость этого ряда?

Answer 1

Если ряд расходится, то различными манипуляциями можно прийти к множеству различных результатов для его суммы. От куда вы можете знать, что вы не получили одно из таких "шальных" значений?
Сначала сходимость, потом суммирование.

Answer 2

Zetademon, чтоб ответить на Ваш вопрос, нужно смотреть, какими свойствами обладает именно "какой-нибудь" определенный обобщенный метод суммирования.

Однако, все эти обобщенные методы, как правило, обладают такими свойствами:
1) Для абсолютно сходящихся рядов они дают традиционную сумму;
И
2) Отображение ряда в его обобщенную сумму является непрерывным в какой-нибудь боле-мене адекватной топологии (а уж понаделать из знакоположительного ряда последовательность рядов с нулями в хвосте, заменяющих частичные суммы исходного, вы сумете) .

Посему шансы доказать сходимость исходного ряда у вас есть; но, не зная, какой там метод обобщенного суммирования вы хотите выбрать, что-то боле определенное сказать все-таки сложно.

Answer 3

Не-ет! Давно уже этот трюк разоблачён — см. на Ютьюбе механизм жульничества, когда сумма то равна 1/2, то 1/120, то — вобще отрицательна. Ссылки на Эйлера.