Почему моменты инерции стержня и круга равной массы и радиуса (длины) не равны

Question

Итак. момент инерции I материальной точки равен mR^2, где R - расстояние до оси вращения.
Распределив массу материальной точки по всей окружности получаем, окружность такой же массы, и все её точки распределены на одинаковом расстоянии от оси. Таким образом, момент инерции окружности равен mR^2.
Возьмем тонкий стержень длиной (I=1/3mR^2) R и будем вращать его вокруг одного из его концов. по аналогии распределим массу dR каждой точки стержня по окружности, и получим диск. по иде, момент инерции не должен измениться. Однако известно, что момент инерции диска равен 1/2mR^2
Почему аналогия не работает? Где ошибка?
Данный метод мог бы помочь находить моменты инерции тел через тела их вращения. однако он не работает, и непонятно, почему. Или непонятно, как.

P. S. Как найти момент инерции, скажем, диска, вращая через его диаметр, не прибегая к интегрированию? Куба через диагональ? конус через вершину перпендикулярно основанию?

Answer 1

А не надо по аналогии, надо по определению. Проинтегрируй свой диск, потом проинтегрируй стержень - получишь разные величины (по моим прикидкам у стержня должно быть в 2п раз меньше момента, но это так, вангование) . Но если хочешь по аналогии - задайся вопросом, какая у твоего стержня и диска плотность.

Answer 2

Ваще нелогичное сравнение. У диска центр масс находится на оси вращения. у стержня - на расстоянии l/2 от . нея. А выводы формул можно посмотреть здесь . в разделе "Осевые моменты инерции некоторых тел.