Кто-нибудь разбирается в теории групп? Действие группы на множестве.

Question

Почему, при действии конечной группы на некотором множестве, количество элементов множества в одной орбите равно отношению порядка группы к порядку стабилизатора какого-то из элементов орбиты?
И вобще, раз не важно, стабилизатор какого элемента из орбиты брать, все стабилизаторы внутри одной орбиты одинакового порядка что ли?
Если так, то это можно найти сразу кучку нетривиальных подгрупп?
Кто-нибудь может это понятно объяснить, пожалуйста? )

Answer 1

Сначала на вторую часть вопроса отвечу.
Пусть m1, m2 - элементы одной орбиты, Тогда
gm1 = m2 = St (m1) = g^-1+St (m2) *g

Т. е. действуя внутренними автоморфизмами на стабилизатор элемента, вы сможете получить всевозможные стабилизаторы элементоа той же орбиты, и только их. Пожтоу на вторую часть вопроса ответы "да-да"

На первую часть вопроса ответ "по теореме Лагранжа". По отношению к стабилизатору элемента m орбиты элементы группы, загоняющие фиксированный элемент этой орбиты в m, образуют класс смежности, левый или правый - сами думайте