Модулярная арифметика. Как решить задачу?

Answer 1

Я все же рассмотрел задачу, избавившись от корней:
2 (xy) ^2=x^8+y^8-4*1003^2

1) Очевидно, равенство не выполняется, если x и y разной четности - левая часть тогда нечетная.

2) Дале, если x и y четны, то рассмотрим сравнение по модулю 8:
0 = -4*1003^2 (mod 8) - противоречие, правая часть не делится нацело на 8.

3) Если x, и y нечетны, и т. к. для любого нечетного x x^2=1 (mod 8) , рассмотрим снова сравнение по модулю 8:
2*1*1 = 1^4 + 1^4 - 4*1003^2 (mod 8)
2 = 1 + 1 - 4 = -2 = 6 (mod 8) - опять противоречие.

Значит, таких чисел нет.
P. S. ваше решение мне, честно говоря, непонятно, как и то, почему в нем нечетные числа дают четные остатки при делении на 8. Также операция деления внутри сравнений может приводить к некоторым неоднозначностям, например, (4n+2) /2 = 1 или 3 (mod 4) , и, например, в данном случае нельзя просто взять и заменить 4n+2 его остатком.