Поле галуа GF (10) расчет таблицы умножения

Question

Возникла проблема при подсчете таблицы умножения для поля GF (10) , принцип я понял такой, перемножить два элемента и взять число по mod 10. Но проблема в том, что например если 5*8 = 40, 40mod10=0. такого не может быть, но других методов расчета не знаю, подскажите как быть

Answer 1

Такого поля не существует, потому что 10 не является степенью простого числа. Ну давай это докажем аккуратно без использования заумных теорем теории полей - "хардкорно", на уровне материала из первых трех-четырех лекций по теории групп. Предположим обратное - пусть такое поле существует. Тогда его мультипликативная группа имет порядок 9, адитивная - 10. Т. к. простое число 2 делит 10, то по теореме Коши (из теории групп) найдется элемент адитивной группы порядка 2, т. е. ненулевое a: a + a = 0. Тогда по дистрибутивности и a (a + a) = 0 = a^2 + a^2 = 0 . и тд. a^9 + a^9 = 0 Т. к. порядок циклической мультипликатвной подгруппы, порожденной { a }, по т. Лагранжа делит 9, то a^9 = 1, откуда 1 + 1 = 0. Т. к. простое число 5 делит 10, то по теореме Коши (из теории групп) найдется элемент адитивной группы порядка 5. Заметим, что если b - элемент адитивной группы порядка 5, то b ! = 0 и b + b + b + b + b = 0. Тогда дистрибутивности и b (b + b + b + b + b) = b^2 + b^2 + b^2 + b^2 + b^2 = 0 . b^9 + b^9 + b^9 + b^9 + b^9 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 Тк. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 1 + 1 = 0, то 1 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) - (1 + 1) - (1 + 1) = 0. Но в поле 0 ! = 1. Получили противоречие. Утверждение доказано. PS. Доказательство теоремы Коши не через Силова можно глянуть здесь на стр. 10, оно достаточно красивое: Ну а теорему Лагранжа вобще любой лошара знает, но е можно подсмотреть там же, если что.