Признак делимости на 7.

Question

На днях я здесь задал вопрос (218841575; уже «отвечанный» и закрытый) , где я привел признак делимости на 7, придуманный одним 12-летним мальчиком. К сожалению, я тогда не заглянул в Интернет, и потому данная методика показалась мне чем-то новой и выдающейся. Но я вспомнил свой способ, который я тоже замыслил в средней школе (е я окончил в 1963 г. ) , только в старших классах. Тогда я тому не придавал особого значения, поскольку этот признак выглядел значительно сложне даже признаков деления на 8 и 11. Однако уже после упомянутого выше вопроса мне в голову пришла идея «максимального облегчения числа» путем отбрасывания целых произведений 7-и; это, по-моему, делает способ чем-то стОящим. Поясню на примере.
 Берем число 314159265. Запись делим на части вертикальными черточками следующим образом: 3|14|15|92|65. Отбрасываем 14 (т. к. делится на 7 без остатка) и вместо него пишем 00; из 15 отбрасываем 14 и пишем остаток 01; аналогично из 92 и 65 отбрасываем сответственно 91 и 63, и пишем 01 и 02 (кроме таблицы умножения достаточно запоминать 7*12= 84, 7*13= 91 и 7*14= 98) . Получаем «облегченное число» 300010102. Здесь всего 4 «натуральной цифры»: 3, 1, 1 и 2. Облегчить число больше невозможно.
 ЗАПОМИНАЕМ число 11*12= 132. Число, дополняюще цифры этого числа до 7-и, будет 777-132= 645. Записываем НАД облегченным числом число 132645, только СЗАДИ-ВПЕРЕД, повторя последовательно (запись обрываем, когда достигаем начала числа) :
231546231
300010102
Цифры, стоящие одна над другой, переумножаем и результаты слагаем (на нули не умножаем) : 2*3+4*1+2*1*2= 14. Делится на 7 без остатка. Значит, делится и исходное число.
 Если сумма на 7 делится c остатком, то он и будет остатком от деления исходного числа.
 Прошу вас оценить способ, сравнивая его с существующими.

Answer 1

Я боле простой способ придумал (хотя он требует больших промежуточных вычислений) :
1) делим число на разряды: 314|159|265
2) оставляем в каждом разряде остатки от деления на семь: 6 | 5 | 6
3) складываем все остатки, чередуя знаки: 6-5+6=7 - если кратно семи, то исходное число делится. Это не какая-нибудь магия - все базируется на модулярной арифметике.
Мой метод основан на том, что 1001=1000 делится на 7. Аналогичный прием используется в признаке делимости на 11.