Question

Почему умножая некоторые числа в периоде на целое число, получаем целое число? К примеру 200/9 получаем 22, 222. (в периоде) и умножая в калькуляторе это бесконечное число после запятой опять на 9 получаем ровно 200? Как это возможно?

Answer 1

? Ничего странного. Было бы странно, если бы этого не было )
Бесконечные периодические дроби в десятичной форме являются результатом деления каких-либо двух целых чисел.
При умножении такого результата на число, кратное делителю, ничего иного, кроме целого числа, получиться и не может)

Патамушта если N, M, k - целые числа, то (N/M) *Mк = Nk будет ничем иным, как целым числом.

Answer 2

Потому что калькулятор округляет. То, что 22, (2) * 9 = 200, вряд ли кого-то удивит. Но калькулятор, разумется, не вычисляет никакой период. Он вычисляет конечное число знаков.

Answer 3

С учетом того, что 3. 23 можно записать как 3. 22999 (9) или 3. 23 (0) , любое рациональное число прдеставимо периодической десятичной дробью (впрочем, и k-ичной, но давай с десятичными ращберемся) .

Берешь дробь m/n и делишь m на n в столбик - остатки рано или поздно начнут повторяться, потому что их не боле n штук может быть. Отсюда и периодичность.

Обратное тоже верно.
0, (1) = 1/9
0, (01) = 1/99
345. 288 (288) = 345 + 288/999

Answer 4

Никогда не задумывался, почему все несократимые дроби вида a/2^n, a/5^m или a/ (2^n*5^m) всегда в ДЕСЯТИЧНОЙ записи конечные, а все остальные - бесконечные? !
Подсказка уже в вопросе)
Запись дроби в виде "бесконечной" строки цифр с запятой - всего лишь сумма бесконечного ряда. И ничто не мешает числу, записанному в таком "бесконечном" виде, быть самой обычной дробью вроде 1/3, которое при умножении, например, на 3 даст целое.